在依次进行了前面的步骤：

• Model transformation，将物体和摄像机放到标准位置； (M)

• View/Camera transformation，将摄像机角度到标准位置；(V)

• Projection Transformation，将被观测场景投影到标准的$[-1, 1]^{3}$范围后；(P)

After MVP transformation，下一步就是将Projection画在屏幕上，这一步就是Rasterization(光栅化) ！

Rasterization

Preview

回顾上节课的定义，定义一个立方体需要知道：$x$轴上$[l,r]$，$y$轴上$[b, t]$，$-z$轴上$[f, n]$，这里假设我们已经知道$f$和$n$平面，对于Perspetive Projection而言，需要定义视角锥。如下图所示，定义近平面需要两要素：

1. Field-of-view(fovY，默认是垂直视角)：定义为两条横边中点的连线夹角，如图中两条红色虚线所示；
2. Aspect ratio(宽高比)： $Aspect ratio = width/height$；

• 类似垂直视角，可以定义水平视角，此时为两条竖边的中点，并且当固定了宽高比和Fov后，即可求出水平视角。
• 用相机类比，Fov可以对应镜头的焦距所对应的视角；

Canonical Cube to Screen

• 暂时不管$z$轴；
• 将MVP变换后的$[-1,1]^{2}$映射到$[0,width]\times[0,height]$尺寸上；
• 如何实现？先scale再translate；

注意在上述操作中，这些操作都是对空间中的各种立方体操作的，如何将这些立方体打散到每个像素点，求解到每个像素点像素值，这个过程称为光栅化。

Different raster displays(光栅显示设备)

• Oscilloscope(示波器)，显示原理和早期显示器一致，阴极射线管发生电子打到荧光屏上，CRT(Cathode Ray Tube)，以扫描的形式进行画图呈像；
• Frame Buffer，现在显示认为就是内存或显存中的一部分空间，屏幕就是讲内存中的内容映射显示到物理设备上，包括：
  • LCD(Liquid Crystal Display，液晶显示器)，利用液晶材料的极化作用，进行光线的扭转；
  • LED(Light Emitting Diode，发光二极管)；
  • Electronic Ink Display，电子墨水屏，刷新率很低；

Triangles - Fundamental Shape Primitives

重心坐标插值-barycentric interpolation

Rasterizing a triangle

光栅化最核心的步骤：

左图三角形代表经过MVP，Projection变换后的图形，图中每一个方格代表一个像素，光栅化就是判断每一个点和三角形的关系并进行取值。

下面介绍一个最简单和最广泛使用的方法-**采样(Sample)**：

前提：

• 认为每个像素内部是不可分割，颜色一致的小块；
• 认为每个像素块的中心是$(x+0.5, y+0.5)$，由质心确定对应像素块的颜色；

这里用代码更容易说清楚：

1
2
3
4

for (int x=0; x<xmax; ++x)
  for(int y=0; y<ymax; ++y)
    // 这里的inside函数用以判断点是否在图形内侧，算法可参考前面的固定方向叉乘
    image[x][y] = inside(tri, x+0.5, y+0.5);

Recap and supplement

• 对于旋转变换，逆时针旋转θ角度和顺时针旋转θ角度的矩阵恰好为正交矩阵，此时矩阵的转置和矩阵的逆相等。

• 为了统一平移变换和线性变换的书写形式，引入齐次坐标的概念，实质是增加一个维度；

3D Transformations

On homogeneous coordinates, 3D points/vectors can be described as :

• 3D point = $ (x, y, z, 1)^T$
• 3D vector = $ (x, y, z, 0)^T $
• In general, if $ (x, y, z, w)^T $ ($ w \neq 0$ and $w \neq 1$), which refers the same point $(x/w, y/w, z/w, 1)^T $

1. Transformation-变换

• Modelling-模型变换

  • 游戏中场景的变化；
  • 机器人跳舞（姿态变化）；
  • 物体相互作用发生形变和缩放；
  • 光栅化成像，从3D到2D的projection（投影）

• Viewing-视角变换

  同一个对象，主摄影视角进行变换产生不同的光栅化视角；

1. Vector-向量

课程中所有的向量默认是列向量形式，转置后为行向量；

1.1 Dot Production

在图形学中，核心的作用有三个：

1）求出两个向量的夹角，余弦值；

2）求出向量a在向量b上的投影，以及获得副产物法向量：

3）判断不同向量的前后关系（余弦相似度）：

1. Why study Computer Graphics?

• Applications: Video Games, Movies, Animations, Design, Visualization, VR&AR, Digital Illustration, Simulation, GUI, Typography
• Fundamental Intellectual Challenges
  • Creates and interacts with realistic virtual world
  • Requires understanding of all aspects of physical world
  • New computing methods, displays, technologies
• Technical Challenges
  • Math of (perspective) projections, curves, surfaces
  • Physics of lighting and shading
  • Representing / operating shapes in 3D
  • Animation / simulation
  • 3D graphics software programming and hardware

课程主要资料

• 课程录播-Video Lecture

• 课件-PowerPoints

• 课程笔记-Lecture Notes

• 课后作业-Homework

• 推荐教材及读物

  • (Tiger book)

Lecture Notes

• Lec 01 - Overview 计算机图形学概述+专业名词解释
• Lec 02 - Linear Algebra 必备的向量和线性代数知识
• Lec 03 - Transformations 基础的2D变换和齐次坐标系

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